Question

【題目】已知函數.

（1）求證：當x∈(0,π]時，f(x)<1；

（2）求證：當m＞2時，對任意x0∈(0,π] ，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析

【解析】

（1）變換得到，設，求導得到最值得到答案.

（2）只需要求出f（x）在（0，π]上的值域，然后研究g（x）的單調性是先增后減或先減后增，同時說明每一段上的函數值范圍都包含f（x）的值域即可.

（1），，即，設，

則，函數單調遞減，故，即，得證.

（2）f（π）＝0，當時，，故f（x）的值域為[0，1）.

又因為g′（x），x∈（0，π]，m＞2.

令∈（0，1）.顯然y＝mx﹣2是增函數.

∴時，g′（x）＜0，g（x）遞減；，g′（x）＞0，g（x）遞增.

此時g（x）min，（m＞2）.

將上式化簡并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞2.

∵，∴r（m）在（2，+∞）上遞減.

所以r（m）＜r（2）＝0，故g（x）min＜0.

顯然當x→0時，g（x）→+∞，即當時，g（x）遞減，

且函數值取值集合包含f（x）的值域[0，1）；

而g（π）＝（π﹣1）m﹣2lnπ＞2（π﹣1）﹣2lnπ＝2（π﹣1﹣lnπ）＞2（3﹣1﹣lnπ），

∵，∴，

即當x時，g（x）遞增，且函數值取值集合包含f（x）的值域[0，1）.

所以當m＞2時，對任意x0∈（0，π]，存在x1∈（0，π]和x2∈（0，π]（x1≠x2）

使g（x1）＝g（x2）＝f（x0）成立.