Question

【題目】已知直線x﹣2y+2與圓C：x2+y2﹣4y+m=0相交，截得的弦長為
（1）求圓C的方程；
（2）過點M（﹣1，0）作圓C的切線，求切線的直線方程；
（3）若拋物線y=x2上任意三個不同的點P、Q、R，且滿足直線PQ和PR都與圓C相切，判斷直線QR與圓C的位置關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓心C（0，2）到直線x﹣2y+2與的距離為d= ，

∵截得的弦長為 ，∴r=1

∴圓C的方程為：x2+（y﹣2）2=1

（2）解：斜率不存在時，x=﹣1滿足題意；

斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1），即kx﹣y+k=0，

圓心到直線的距離d= =1，∴k=﹣ ，切線方程為3x+4y+3=0，

綜上所述，切線方程為x=﹣1或3x+4y+3=0

（3）解：設P（a，a2），Q（b，b2），R（c，c2），可得kPQ=a+b，

直線PQ的方程為y﹣a2=（a+b）（x﹣a），即為y=（a+b）x﹣ab，

同理可得，直線PR的方程為y=（a+c）x﹣ac，

直線QR的方程為y=（b+c）x﹣bc，

∵直線PQ和PR都與圓C相切，

∴ =1， =1，即為b2（1﹣a2）﹣2ab+a2﹣3=0，

c2（1﹣a2）﹣2ac+a2﹣3=0，即有b，c為方程x2（1﹣a2）﹣2ax+a2﹣3=0的兩根，

可得b+c= ，bc= ，

由圓心到直線QR的距離為 =1，

則直線QR與圓C相切

【解析】（1）求得圓心到直線的距離，由弦長公式，計算即可得到m=3，進而得到圓的方程；（2）分類討論，運用直線和圓相切的條件，求得k，即可得出結論；（3）設P（a，a2），Q（b，b2），R（c，c2），求得直線PQ，PR，QR的方程，運用直線和圓相切的條件，化簡整理，再由韋達定理，可得b，c的關系，再由圓心到直線QR的距離，即可判斷所求位置關系．