Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為 ，且雙曲線C與斜率為2的直線l有一個公共點P（﹣2，0）．
（1）求雙曲線C的方程及它的漸近線方程；
（2）求以直線l與坐標軸的交點為焦點的拋物線的標準方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設雙曲線的方程為 ﹣ =1（a，b＞0）．

∵點P（﹣2，0）在雙曲線上，∴a=2．

∵雙曲線C的離心率為 ，∴c=2 ．

∵c2=a2+b2，∴b=2．

∴雙曲線的方程為： ﹣ =1，

其漸近線方程為：y=±x

（2）解：由題意，直線l的方程為y=2（x+2），即y=2x+4，

直線l與坐標軸交點分別為F1（﹣2，0），F2（0，4）．

∴以F1（﹣2，0）為焦點的拋物線的標準方程為y2=﹣8x；

以F2（0，4）為焦點的拋物線的標準方程為x2=16y

【解析】（1）由題意，設雙曲線的方程為 ﹣ =1（a，b＞0）．由點P（﹣2，0）在雙曲線上，可得a=2．利用 = ，可得c．利用c2=a2+b2 ， 可得b．即可得出方程及其漸近線方程．（2）由題意，直線l的方程為y=2（x+2），可得直線l與坐標軸交點分別為F1（﹣2，0），F2（0，4）．即可得出相應的拋物線方程．