Question

【題目】如圖已知是邊長為的正方形的中心，點分別是的中點，沿對角線把正方形折成二面角.

（1）證明：四面體的外接球的體積為定值，并求出定值；

（2）若二面角為直二面角，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意可知，四面體的外接球始終是以為直徑，即其半徑為2，點為球心的球，而與二面角大小無關，再由球的體積公式進行計算，從而問題可得解；（2）由題意可考慮采用坐標法，分別以為軸，建立空間直角坐標系，分別求出二面角兩個平面的法向量，再由向量的數量積公式進行運算，從而問題可得解.

試題解析：（1）∵為定值，與二面角大小無關，

∴ 四面體的外接球是以為球心，2為半徑的球，所以外接球的體積為

（2）以點為原點，以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的坐標系，

則，∴，，

設平面的法向量為，

則，即，令，則，

∴，

又平面的法向量 為，∴，

∴二面角的余弦值為．