Question

已知函數.

（Ⅰ）若函數為偶函數，求的值；

（Ⅱ）若，求函數的單調遞增區間；

（Ⅲ）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

【解析】

試題分析：（1）據偶函數定義,得到,平方后可根據對應系數相等得到的值,也可將上式兩邊平方得恒成立,得的值；（2）當時，作出函數的圖像，即可得到函數的單調遞增區間；（3）先將不等式轉化為，然后利用零點分段法（三段：（））去掉絕對值,在每段上分別求解不等式的恒成立問題，可得出各段不等式恒成立時參數的取值范圍，注意在后一段時可考慮結合前一段的參數的取值范圍進行求解，避免不必要的分類，最后對三段求出的的取值范圍取交集可得參數的取值范圍.

試題解析：(1)解法一：任取，則恒成立

即恒成立 3分

∴恒成立，兩邊平方得：

∴ 5分

(1)解法二(特殊值法)：因為函數為偶函數，所以，得，得： （酌情給分）

(2)若，則 8分

作出函數的圖像

由函數的圖像可知，函數的單調遞增區間為及 10分

(3)不等式化為

即： (*)對任意的恒成立

因為，所以分如下情況討論：

①時，不等式(*)化為

即對任意的恒成立，

因為函數在區間上單調遞增，則只需即可，得，又

∴ 12分

②時，不等式(*)化為，

即對任意的恒成立，

由①，，知：函數在區間上單調遞減，則只需即可，即，得或

因為所以，由①得 14分

③時，不等式(*)化為

即對任意的恒成立，

因為函數在區間上單調遞增，則只需即可，

即，得或，由②得

綜上所述得，的取值范圍是 16分.

考點：1.函數的奇偶性；2.函數的單調性；3.函數性質的綜合應用；4.分類討論思想.