Question

在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．
（Ⅰ）求異面直線DE與AC所成角的大小；
（Ⅱ）在線段CE上是否存在點F，使平面BDF⊥平面ADE，若存在，確定點F的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

由于在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，
則AB，BC，BE兩兩垂直，
故可以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系B-xyz．

∵AB=BC=BE=2AD=2，
則B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），D（1，2，0），E（0，0，2）．
（Ⅰ）∵

DE

=(-1，-2，2)，

AC

=(2，-2，0)
∴

DE

•

AC

=(-1)×2+(-2)×(-2)=2，
|

DE

|=

(-1)2+(-2)2+22

=3，
|

AC

|=

22+(-2)2+02

=2

2

∴cos＜

DE

，

AC

＞=

DE • AC

| DE || AC |

=

2

6

故異面直線DE與AC所成角的大小為arccos

2

6

；
（Ⅱ）假設線段CE上存在這樣的點F，不妨設F（a，0，2-a）（0≤a≤2）
則

BD

=(1，2，0)，

BF

=(a，0，2-a)

若設平面BDF的法向量為

n

=(x，y，z)
故有

n • BD =0 n • BF =0

，則

x+2y=0 ax+(2-a)z=0

∴平面BDF的一個法向量為

n

=(2，-1，-

2a

2-a

)
∵在平面ADE中，

DE

=(-1，-2，2)，

AD

=(1，0，0)
同理可得平面ADE的一個法向量為

m

=(0，1，1)
由于平面BDF⊥平面ADE，則

m

⊥

n

，
即

m

•

n

=2×0+(-1)×1+(-

2a

2-a

)×1=0
解得a=-2，由于點F在線段CE上，-2∉{a|0≤a≤2}
故在線段CE上不存在點F，使得平面BDF⊥平面ADE．