Question

【題目】已知函數f（x）=eax﹣x﹣1，其中a≠0．若對一切x∈R，f（x）≥0恒成立，則a的取值集合 ．

Answer 1

【答案】{1}
【解析】解：若a＜0，則對一切x＞0，∵eax＜1，∴f（x）=eax﹣x﹣1＜0，這與題設矛盾．又a≠0，故a＞0．
而f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0得x= ln ，
當x＜ ln 時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x＞ ln 時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
∴當x= ln ，f（x）取最小值f（ ln ）= ﹣ ln ﹣1．
于是對一切x∈R，f（x）≥0恒成立，當且僅當 ﹣ ln ﹣1≥0．①
令g（t）=t﹣tlnt﹣1，（t= ）則g′（t）=﹣lnt，
當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增；
當t＞1時，g′（t）＜0，g（t）單調遞減，
∴當t=1時，g（t）取最大值g（1）=1﹣1=0．
∴當且僅當 =1，即a=1時，①式等號成立．
綜上所述，a的取值集合為{1}．
所以答案是：{1}．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．