Question

【題目】已知函數，，且函數是偶函數.

（1）求的解析式；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）若函數恰好有三個零點，求的值及該函數的零點.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），零點為0，-2，2

【解析】

（1）由是偶函數，求出后可得；

（2）等式在上恒成立，可用分離參數法轉化為求函數最值；

（3）可換元，化為關于（）的方程，原函數有三個零點，即原方程有三個解，由對稱性（或偶函數）知是一個解，即是新方程的一個根，由此可求得，從而求得另外的根，即求得函數的零點．

（1）∵，

∴.

∵是偶函數，∴，∴.∴，∴.

（2）∵在上恒成立，∴.

令，，則，，∴.

（3）令，則，方程可化為，即，也即.

又∵方程有三個實數根，

∴有一個根為2，∴.∴，解得或.

由，得，由，得，

∴該函數的零點為0，-2，2.