Question

如圖,在△ABC中,AC=b,BC=a,a＜b,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且AD=a,∠ADB+∠C=π.問∠C為何值時(shí),凹四邊形ACBD的面積最大?并求出最大值.

Answer 1

解：設(shè)BD=x,在△ABC和△ABD中,根據(jù)余弦定理,得

AB²=a²+b²-2abcosC,

AB²=a²+x²-2axcos∠ADB

=x²+a²+2axcosC,

∴a²+b²-2abcosC=x²+a²+2axcosC,

即x²+2axcosC+(2acosC-b)b=0,

解得x=b-2acosC或x=-b(舍去).

于是凹四邊形ACBD的面積

S=S_△ABC-S_△ABD

=absinC-axsin∠ADB

=absinC-a(b-2acosC)sinC

=a²sin2C.

∴當(dāng)∠C=時(shí),凹四邊形ACBD的面積最大,最大值為a²,此時(shí)BD=b-a.