Question

設集合A⊆R，如果實數x₀滿足：對?r＞0，總?x∈A，使得0＜|x-x₀|＜r，則稱x₀為集合A的聚點．給定下列四個集合：
①Z；  
②{x∈R|x≠0}；   
③{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}；   
④{

1

n

|n∈Z，n≠0}．
上述四個集合中，以0為聚點的集合是（　　）

A．①③

B．②③

C．①④

D．②④

Answer 1

分析：由已知中關于集合聚點的定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．

解答：解：①中，對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是整數集Z的聚點
②集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=

a

2

（實際上任意比a小得數都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點
③集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}中的元素是極限為1的數列，
除了第一項0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

的時候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}的聚點
④集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}中的元素是極限為0的數列，
對于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

1

n

＜a
∴0是集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}的聚點
故選D．

點評：本題考查的知識點是集合元素的性質，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關鍵．