Question

【題目】

已知函數f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．

（Ⅰ）曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率為3，求a的值；

（Ⅱ）若對于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若a＞1，設函數f(x)在區間[1，2]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a)，

記h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）(－∞，－1－]（3）

【解析】試題分析：（1）求出，由可得結果；（2）對于任意恒成立等價于，利用導數研究函數的單調性，求得，從而可得結果；（3）分三種情況討論：①當，②當，③當分別求出的最小值，再比較大小即可得結果.

試題解析：（1）因為f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，

所以曲線y＝f(x)在x＝0處的切線斜率k＝f ′(0)＝6a，

所以6a＝3，所以a＝．

（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx對任意x∈(0，+∞)恒成立，

所以－(a＋1)≥．

令g(x)＝，x＞0，則g(x)＝．

令g(x)＝0，解得x＝．

當x∈(0，)時，g(x)＞0，所以g(x)在(0，)上單調遞增；

當x∈(，＋∞)時，g(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上單調遞減．

所以g(x)max＝g()＝，

所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，

所以a的取值范圍為(－∞，－1－]．

（3）因為f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，

所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．

令f ′(x)＝0，則x＝1或a．

f(1)＝3a－1，f(2)＝4．

①當1＜a≤時，

當x∈(1，a)時，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上單調遞減；

當x∈(a，2)時，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上單調遞增．

又因為f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，

所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．

因為h (a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，

所以h(a)在(1，]上單調遞減，

所以當a∈(1，]時，h(a)最小值為h()＝．

②當＜a＜2時，

當x∈(1，a)時，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上單調遞減；

當x∈(a，2)時，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上單調遞增．

又因為f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，

所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．

因為h (a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．

所以h(a)在(，2)上單調遞增，

所以當a∈(，2)時，h(a)＞h()＝．

③當a≥2時，

當x∈(1，2)時，f (x)＜0，所以f(x)在(1，2)上單調遞減，

所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，

所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，

所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值為h(2)＝1．

綜上，h(a)的最小值為．

【方法點晴】本題主要考查導數的幾何意義、利用導數求函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.