Question

已知為坐標原點，點、的坐標分別為（，0）、（，0），點、滿足，，過點且垂直于的直線交線段于點，設點的軌跡為.（1）求軌跡的方程；

（2）若軌跡上存在兩點和關于直線：（）對稱，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設直線與軌跡交于不同的兩點、，對點（1，0）和向量（，3），求取最大值時直線的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴為中點.

       ∴垂直平分.

       ∴.

       ∴.

       ∴點的軌跡是以正、為焦點的橢圓.

       ∴長半軸，半焦距，

       ∴.

∴點的軌跡方程為.

       （2）設，，的中點.

       由.

       又，∴，.

       ∵中點在橢圓內部，∴

       ∴（－1，0）∪（0，1）.

   （3）將代入橢圓中，整理得

       .

       設（，），（，）.

       則+=，=.

       ∴===   

       ∴

       =

       =

      

       .

       當僅當，即（0，1）時等號成立.

       此時，直線（+1）.