Question

【題目】若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點．設函數，，a，b，kR．

（1）若為在x＝1處的切線．①當有兩個極值點，，且滿足·＝1時，求b的值及a的取值范圍；②當函數與的圖象只有一個交點，求a的值；

（2）若對滿足“函數與的圖象總有三個交點P，Q，R”的任意突數k，都有PQ＝QR成立，求a，b，k滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）①，或. ②. （2）與.

【解析】

(1) ①根據極值點定義以及韋達定理求得，根據判別式大于零解得a的取值范圍；②根據導數幾何意義得 ，解方程 或，再根據題意解得結果，(2)先化簡方程 有兩個不等實根，，再根據題意得實數根滿足，或，或，最后分類討論，解得a，b，k滿足的條件．

解：（1）①由，因函數有兩個極值點，

所以兩個不等的實數根，

所以，即，又span>，所以，或.

②因為函數在處的切線，

所以，

聯立方程組，即，

所以，

整理得，解得或，

因與只有一個交點，所以，解得.

（2）聯立方程組，由②得，

即，方程有一根

因與有三個交點，

所以有兩個不等實根，

因與有三個交點且滿足，

所以實數根滿足，或，或，

因為滿足與有三個交點的任意實數，

令，則，解得，，

當時，得，，

此時，令，則，

解得，，不滿足與，不符題意；

同理也不符題意；

當時，由，得，

此時總滿足，

為此只需有兩個不等的實根即可，

所以，化簡得，

綜上所述，應滿足條件與.