Question

【題目】已知雙曲線的右頂點為A，拋物線的焦點與點A重合．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若直線l過點A且斜率為雙曲線的離心率，求直線l被拋物線截得的弦長．

Answer 1

【答案】(1) y2＝4x；(2)5

【解析】

（1）由雙曲線的標準方程得右頂點坐標，即拋物線焦點坐標，可求拋物線標準方程；

（2）根據已知條件寫出直線方程，與拋物線方程聯立，結合拋物線的定義,即可求出過拋物線焦點的相交弦長.

（1）由雙曲線，得a＝1，

∴拋物線的焦點即雙曲線的右頂點A為（1，0），

則拋物線的標準方程為y2＝4x；

（2）由雙曲線方程可得，a＝1，，

則直線l的斜率為2．

∴直線l的方程為y＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2．

聯立，得x2﹣3x+1＝0，，

設兩交點橫坐標分別為，則，

∴直線l被拋物線截得的弦長為x1+x2+p＝3+2＝5．