Question

【題目】已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求動點A的軌跡M的方程；
（Ⅱ）P為軌跡M上動點，△PBC的內切圓面積為S1 ， 外接圓面積為S2 ， 當P在M上運動時，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據題意知，動點A滿足橢圓的定義
所以，有|F1F2|=|BC|=2c=2，|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4，
且a2=b2+c2解得
所以，動點A的軌跡M滿足的方程為
沒有寫出y≠0或x≠±2扣
（Ⅱ）設P（x0 ， y0），△PBC的內切圓為⊙O1 ， 半徑為r1；△PBC的外接圓為⊙O2 ， 半徑為r2 ，
∵ ，∴ ，
線段PB的垂直平分線方程為
又線段BC的垂直平分線方程為x=0，
兩條垂線方程聯立求得
∵ ，∴ ，
∴⊙O2的圓心為
∴
∴ ，
∵ ，∴ ，∴
∴ ，此時 ．
【解析】（Ⅰ）動點A滿足橢圓的定義，由此能求出動點A的軌跡M滿足的方程．（Ⅱ）設P（x0 ， y0），△PBC的內切圓為⊙O1 ， 半徑為r1；△PBC的外接圓為⊙O2 ， 半徑為r2 ， 推導出 ， ，從而 ，由此能求出 的最小值．