Question

已知平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)．若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使

x

=

a

+(t2-3)

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

．
（1）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）
（2）求使f（t）＞0的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

x

•

y

=0，即 [(

a

+t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0．再由

a

•

b

=0，

a

2=4，

b

2=1，可得-4k+t（t²-3）=0，化簡可得函數(shù)關(guān)系式k=f（t）．
（2）由f（t）＞0，得

1

4

t(t2-3)＞0，即t(t+

3

)•(t-

3

)＞0，由此解得t的取值范圍．

解答：解：（1）∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，即 [(

a

+t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0．
∵

a

•

b

=0，

a

2=4，

b

2=1，∴-4k+t（t²-3）=0，即  k=

1

4

t(t2-3)．
（2）由f（t）＞0，得

1

4

t(t2-3)＞0，即t(t+

3

)•(t-

3

)＞0，解得-

3

＜t＜0 或 t＞

3

．

點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，高次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．