Question

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

本試題主要考查了橢圓的方程和性質的和運用。第一問中，利用待定系數法求解橢圓的標準方程即可。結合橢圓的離心率為，且經過點可得
（2）中假設存在直線滿足條件，由題意可設直線的方程為，聯立方程組
結合韋達定理可知且，即，
所以 ，解得.
因為，解得．
所以最終得到k=1/2.
解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，由題意得
解得，，故橢圓的方程為． ……………………5分
（Ⅱ）若存在直線滿足條件，由題意可設直線的方程為，
由得.
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，
所以.
整理得.
解得．
又，，
且，即，
所以 . 即 .
所以 ，解得.
所以．于是存在直線滿足條件，其的方程為.  ………………13分