Question

已知焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為,為橢圓的左頂點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知過點的直線與橢圓交于，兩點.
① 若直線垂直于軸，求的大小;
② 若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）（ⅰ）當直線垂直于軸時，直線的方程為.
（ⅱ）當直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形.

試題分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，且.
由題意可知：，.             2分
解得.            
∴ 橢圓的標準方程為.           3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.設.
（�。┊斨本�垂直于軸時，直線的方程為.
由 解得：或
即（不妨設點在軸上方）.        5分
則直線的斜率，直線的斜率.
∵ ，得 .
∴ .                 6分
（ⅱ）當直線與軸不垂直時，由題意可設直線的方程為.
由消去得：.
因為 點在橢圓的內部，顯然.
          8分
因為 ，，，
所以


.
∴ .    即為直角三角形.                   11分
假設存在直線使得為等腰三角形，則.
取的中點，連接，則.
記點為.

另一方面，點的橫坐標，
∴點的縱坐標.
又
故與不垂直，矛盾.
所以 當直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形.              13分
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。解題過程中，運用平面向量的數量積，“化證為算”，達到證明目的。