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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
下列不等式
①已知a>0,b>0,則(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4

②a2+b2+3>2a+2b;
③已知m>0,則
b
a
b+m
a+m

a-1
+
a+1
<2
a
(a>1)

其中恒成立的是
①②④
①②④
.(把所有成立不等式的序號都填上)
分析:逐個判斷:選項①由基本不等式可證;選項②可通過作差然后配方來證明;選項③可舉反例說明不對;選項④可通過平方作差法證明.
解答:解:選項①∵a>0,b>0,∴(a+b)(
1
a
+
1
b
)
=2+
b
a
+
a
b
≥2+2
b
a
a
b
=4,
當且僅當a=b時取等號,故(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4
成立;
選項②,∵a2+b2+3-(2a+2b)=a2-2a+1+b2-2b+1+1=(a-1)2+(b-1)2+1≥1
∴a2+b2+3>2a+2b恒成立;
選項③,∵
b
a
-
b+m
a+m
=
b(a+m)-a(b+m)
a(a+m)
=
m(b-a)
a(a+m)
,∴當a=b時,式子為0,
b
a
b+m
a+m
不一定成立;
選項④,∵a>1,∴(
a-1
+
a+1
2-(2
a
2=a-1+a+1+2
a2-1
-4a=2(
a2-1
-a

a2-1
-a<0
,因為a2-1-a2=-1<0,故
a-1
+
a+1
<2
a
成立.
故答案為:①②④
點評:本題為不等式的證明,涉及基本不等式和作差法比較大小,屬基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
x
x2+1

(1)求出函數y=f(x)的單調區間;
(2)當x∈(-
3
4
,+∞)
時,證明函數y=f(x)圖象在點(
1
3
3
10
)
處切線的下方;
(3)利用(2)的結論證明下列不等式:“已知a,b,c∈(-
3
4
,+∞)
,且a+b+c=1,證明:
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
9
10
”;
(4)已知a1,a2,…,an是正數,且a1+a2+…+an=1,借助(3)的證明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值.(只指出正確結論,不要求證明)

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科目:高中數學 來源:成功之路·突破重點線·數學(學生用書) 題型:013

已知函數f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β為方程f(x)=x的兩根,且0<α<β<,0<x<a,給出下列不等式:

①x<f(x) ②a<f(x) ③x>f(x) ④a>f(x)

其中成立的是

[  ]

A.①④
B.②③
C.①②
D.③④

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科目:高中數學 來源: 題型:022

有下列命題:

①已知ab為實數,若a24b0,則x2axb0有非空實數解集.

②當2m10時,如果0,那么m>-4

③若ab是整數,則關于x的方程x2axb0有兩整數根.

④若ab都不是整數,則方程x2axb0無兩整數根.

⑤當2m10時,如果m≤-4,則0

⑥已知ab為實數,若x2axb0有非空實數解,則a24b0

⑦若方程x2axb0沒有兩整數根,則a不是整數或b不是整數.

⑧已知ab為實數,若a24b0,則關于x的不等式x2axb0的解集為空集.

⑨當2m10時,如果m>-4,則0

用序號表示上述命題間的關系(例(1)與(9)互為逆否命題):其中(1___________是互為逆命題;(2___________互為否命題;(3___________互為逆否命題

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科目:高中數學 來源:數學教研室 題型:022

有下列命題:

①已知ab為實數,若a24b0,則x2axb0有非空實數解集.

②當2m10時,如果0,那么m>-4

③若ab是整數,則關于x的方程x2axb0有兩整數根.

④若ab都不是整數,則方程x2axb0無兩整數根.

⑤當2m10時,如果m≤-4,則0

⑥已知ab為實數,若x2axb0有非空實數解,則a24b0

⑦若方程x2axb0沒有兩整數根,則a不是整數或b不是整數.

⑧已知ab為實數,若a24b0,則關于x的不等式x2ax+b0的解集為空集.

⑨當2m10時,如果m>-4,則0

用序號表示上述命題間的關系(例(1)與(9)互為逆否命題):其中(1___________是互為逆命題;(2___________互為否命題;(3___________互為逆否命題

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科目:高中數學 來源:2009-2010學年江蘇省淮安市清江中學高二(上)期末數學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數
(1)求出函數y=f(x)的單調區間;
(2)當時,證明函數y=f(x)圖象在點處切線的下方;
(3)利用(2)的結論證明下列不等式:“已知,且a+b+c=1,證明:”;
(4)已知a1,a2,…,an是正數,且a1+a2+…+an=1,借助(3)的證明猜想的最大值.(只指出正確結論,不要求證明)

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同步練習冊答案
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