Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一點到其上頂點的最大距離恰好等于該橢圓的中心到其準線的距離，則該橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓上點為（acosθ，bsinθ）進而求得到上頂點距離的平方進而看

b2

c2

≤1和

b2

c2

＞1時，橢圓上點到上頂點距離恰好是中心到準線距離的最大值，進而求得a和c的不等式關(guān)系求得e的范圍．

解答：解：設(shè)橢圓上點為（acosθ，bsinθ）
其到上頂點距離的平方為（acosθ）²+（b-bsinθ）²=a²+b²-2b²sinθ-c²（sinθ）²
若

b2

c2

≤1，則最大值為a²+b²+

b4

c2

=

a4

c2

所以此時橢圓上點到上頂點距離恰好是中心到準線距離，
所以e的范圍滿足

b2

c2

≤1，
即：c²≥b²=a²-c²
2c²≥a²
∴

2

2

≤e＜1
若

b2

c2

＞1，則最大值為4b²，它要等于

a4

c2

a⁴=4c2（a²-c²）
所以a²=2c²，此時b²=c²，舍去
故答案為[

2

2

，1)

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生邏輯推理和基本運算能力．