Question

【題目】已知橢圓兩焦點 ，并且經過點 ．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點A（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N（M在A、N之間），試求△OAM與△OAN面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為橢圓的焦點在x上，

所以設橢圓方程為 （a＞b＞0），

由定義得 ，

∴a=2，b2=4﹣3=1，所以橢圓方程為 ；

（2）解：由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=kx+2（k≠0），

設M（x1，y1），N（x2，y2），

由 整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，

由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，得 ；

，

令 ，

∵x1x2＞0，∴x1，x2同號，∴ ∴x1=λx2，

∴ ，

∴

∴

∵ ∴ ，解得 ，

∵0＜λ＜1∴ ，

所以△OAM與△OAN面積之比的取值范圍是 ．

【解析】（1）設橢圓方程為 （a＞b＞0），運用橢圓的定義，可得a=2，結合a，b，c的關系，求得b，進而得到橢圓方程；（2）設l方程為y=kx+2（k≠0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），代入橢圓方程，運用判別式大于0和韋達定理，令 ，代入化簡整理，運用不等式的性質，即可得到所求范圍．