Question

已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂直,求證:圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.

Answer 1

見證明

證明:如下圖所示,選擇互相垂直的兩條對角線所在的直線為坐標軸.本題關鍵是求出圓心O′的坐標.過O′作AC的垂線,垂足為M,M是AC的中點,垂足M的橫坐標與O′的橫坐標一致.同理可求出O′的縱坐標.
如上圖所示,以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA、DB所在直線分別為x軸、y軸,建立直角坐標系.設A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
過四邊形ABCD外接圓的圓心O′分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E,則M、N、E分別是線段AC、BD、AD的中點,由線段的中點坐標公式,得
x=x_M=,y=y_N=,x_E=,y_E=.
所以|O′E|==.
又|BC|=,
所以|O′E|=|BC|.