Question

（本小題滿分12分）
已知數列的前項和為，，，，其中為常數，
（I）證明：；
（II）是否存在，使得為等差數列？并說明理由.

Answer 1

（I）詳見解析；（II）存在，.

試題分析：（I）對于含遞推式的處理，往往可轉換為關于項的遞推式或關于的遞推式．結合結論，該題需要轉換為項的遞推式．故由得．兩式相減得結論；（II）對于存在性問題，可先探求參數的值再證明．本題由，，，列方程得，從而求出．得，故數列的奇數項和偶數項分別為公差為4的等差數列．分別求通項公式，進而求數列的通項公式，再證明等差數列．
試題解析：（I）由題設，，．兩式相減得，．
由于，所以．
（II）由題設，，，可得，由（I）知，．令，解得．
故，由此可得，是首項為1，公差為4的等差數列，；
是首項為3，公差為4的等差數列，．
所以，．
因此存在，使得為等差數列．
【考點定位】1、遞推公式；2、數列的通項公式；3、等差數列．