Question

已知二次函數f（x）=x²-8x+q．
（1）若f（x）在（-1，1）上有且只有一個零點，求q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數q（0＜q＜6），使得當x∈[q，6]時，f（x）的最小值為-10？若存在，求出q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵二次函數的對稱軸是x=4，二次項的系數1＞0．
∴函數f（x）在（-1，1）上單調遞減．
∵f（x）在（-1，1）上有且只有一個零點，
∴

f(-1)=q+9＞0 f(1)=q-7＜0

，
即

q＞-9 q＜7

，
解得-9＜q＜7．
（2）f（x）=（x-4）²+q-16，
當0＜q＜4時，f（x）的最小值是f（4）=q-16=-10，
解得q=6，不合題意．
當4≤q＜6時，f（x）的最小值是f（q）=q²-8q+q=-10，
解得q=5或2（不合題意舍去）．
∴q=5．