Question

【題目】已知數列{an}滿足a1＝a，an＋1＝2an＋ (a，λ∈R)．

(1)若λ＝－2，數列{an}單調遞增，求實數a的取值范圍；

(2)若a＝2，試寫出an≥2對任意的n∈N*成立的充要條件，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)當λ＝－2時，an＋1＝2an－，由題意知an＋1>an，所以an＋1－an＝an－>0，解得an>或－<an<0，所以a1>或－<a1<0.所以實數a的取值范圍為

(－，0)∪(，＋∞)．

(2)an≥2對任意的n∈N*成立的充要條件為λ≥－4.

證明如下：必要性：假設an＋1＝2an＋≥2，得λ≥－2a＋2an，令f(n)＝－2·＋，由an≥2，可得f(n)max＝－4，即λ≥－4.

充分性：用數學歸納法證明：顯然當n＝1時，a1≥2成立．

假設當n＝k(k≥2)時，ak≥2成立．

當n＝k＋1時，ak＋1＝2ak＋.

令函數f(x)＝2x＋，x∈[2，＋∞)．

①當－4≤λ≤0時，由f′(x)＝2－>0，知f(x)在區間[2，＋∞)上單調遞增，所以ak＋1＝2ak＋≥4＋≥2.

②當λ>0時，對x∈[2，＋∞)總有f(x)＝2x＋>4>2，所以ak＋1＝2ak＋>2.

所以當n＝k＋1時，ak＋1≥2成立．

綜上可知，當λ≥－4時，對任意的n∈N*，an≥2成立．

故an≥2對任意的n∈N*成立的充要條件是λ≥－4.