Question

（本小題滿分14分） 已知函數．

（1）若函數與的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數的值并求點P的坐標；（2）若函數與的圖象有兩個不同的交點M、N，求的取值范圍；（3）在（Ⅱ）的條件下，過線段MN的中點作軸的垂線分別與的圖像和的圖像交S、T點，以S為切點作的切線，以T為切點作的切線．是否存在實數使得，如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）不存在實數

解析:

（Ⅰ）設函數與的圖象的公共點，則有  ①

又在點P有共同的切線∴代入①得設所以函數最多只有1個零點，觀察得是零點，∴，此時…5分

（Ⅱ）方法1 由

令

當時，，則單調遞增

當時，，則單調遞減，且

所以在處取到最大值，

所以要使與有兩個不同的交點，則有   10分

方法2 根據（Ⅰ）知當時，兩曲線切于點，此時變化的的對稱軸是，而是固定不動的，如果繼續讓對稱軸向右移動即，兩曲線有兩個不同的交點，當時，開口向下，只有一個交點，顯然不合，所以.

（Ⅲ）不妨設，且，則中點的坐標為

      以S為切點的切線的斜率

     以T為切點的切線的斜率

如果存在使得，即          ①

      而且有和

     如果將①的兩邊同乘得

   即  設，則有

   令 

∵，∴因此在上單調遞增，故

所以不存在實數使得．…………… 14分