Question

如圖所示，F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，點A（4，2）為拋物線內一定點，點P為拋物線上一動點，|PA|+|PF|的最小值為8．
（1）求拋物線方程；
（2）若O為坐標原點，問是否存在點M，使過點M的動直線與拋物線交于B，C兩點，且以BC為直徑的圓恰過坐標原點，若存在，求出動點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，設拋物線的準線為l，過P作PB⊥l于B，過A作AC⊥l于C，由拋物線定義知當且僅當A，P，C三點共線取等號．由題意知|AC|=8，從而求得p值，最后寫出拋物線的方程；
（2）假設存在點M，設過點M的直線方程為y=kx+b，對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在點M，設過點M的直線方程為y=kx+b，再利用以BC為直徑的圓恰過坐標
原點，求出點M的坐標，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：如圖，設拋物線的準線為l，過P作PB⊥l于B，過A作AC⊥l于C，
（1）由拋物線定義知|PF|=|PB|?|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|（折線段大于垂線段），當且僅當A，P，C三點共線取等號．由題意知|AC|=8，即4+

p

2

=8?p=8?拋物線的方程為：y²=16x
（2）假設存在點M，設過點M的直線方程為y=kx+b，
顯然k≠0，b≠0，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由以BC為直徑的圓恰過坐標
原點有

OB

•

OC

=0?x₁x₂+y₁y₂=0①
把y=kx+b代入y²=16x得k²x²+2（bk-8）x+b²=0
由韋達定理

x1+x2=- 2(bk-8) k2 x1x2= b2 k2

．②
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+bk（x₁+x₂）+b²．③
②代入③得y1y2=

16b

k

．④
②④代入①得

16b

k

+

b2

k2

=0?b=-16k?動直線方程為y=kx-16k=k（x-16）必過定點（16，0）
當k_BC不存在時，直線x=16交拋物線于B（16，-16），C（16，16），仍然有

OB

•

OC

=0，
綜上：存在點M（16，0）滿足條件．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．當研究直線與圓錐曲線的關系的問題時，常可利用聯立方程，進而利用韋達定理來解決．