Question

【題目】已知圓，點為圓上任意一點，點，線段的中點為，點的軌跡為曲線.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線與圓相交于兩點，求的最小值及此時直線的方程；

（3）求曲線與的公共弦長.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）

【解析】

（1）設，，由為中點，列出關系式，求得，再代入化簡即可；

（2）先確定直線過定點，得出當直線時，有最小值，求解即可；

（3）根據圓心間的距離得出兩圓相交，聯立兩圓的方程得出公共弦所在的直線方程，再由直線與圓的關系求出弦長即可.

解：（1）設，

∵為中點，∴得，

∵點在圓上，∴

∴，化簡得

∴點的軌跡的方程為

（2）由線可化為，所以直線過定點，在圓內，

當直線時，有最小值，

又，圓的半徑為2，所以

此時，所以直線的斜率為，的方程為

（3）∵且，∴兩圓相交

①

②

①－②得，即，即公共弦所在的直線方程為

圓心到直線的距離為，因為圓的半徑為2，

所以公共弦長為，∴公共弦長為.