Question

若數列{a_n}的前n項和為S_n，則下列命題：
（1）若數列{a_n}是遞增數列，則數列{S_n}也是遞增數列；
（2）數列{S_n}是遞增數列的充要條件是數列{a_n}的各項均為正數；
（3）若{a_n}是等差數列（公差d≠0），則S₁•S₂…S_k=0的充要條件是a₁•a₂…a_k=0．
（4）若{a_n}是等比數列，則S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）的充要條件是a_n+a_n+1=0．
其中，正確命題的個數是（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：利用等差數列、等比數列的定義和性質，數列的前n項和的意義，通過舉反例可得（1）、（2）、（3）不正確．經過檢驗，只有（4）正確，從而得出結論．

解答：解：數列{a_n}的前n項和為S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，
若數列{a_n}是遞增數列，則數列{S_n}不一定是遞增數列，如當a_n＜0 時，數列{S_n}是遞減數列，故（1）不正確．
由數列{S_n}是遞增數列，不能推出數列{a_n}的各項均為正數，如數列：0，1，2，3，…，
滿足{S_n}是遞增數列，但不滿足數列{a_n}的各項均為正數，故（2）不正確．
若{a_n}是等差數列（公差d≠0），則由S₁•S₂…S_k=0不能推出a₁•a₂…a_k=0，例如數列：-3，-1，1，3，
滿足S₄=0，但 a₁•a₂•a₃•a₄≠0，故（3）不正確．
若{a_n}是等比數列，則由S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）可得數列的{a_n}公比為-1，故有a_n+a_n+1=0．
由a_n+a_n+1=0可得數列的{a_n}公比為-1，可得S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），故（4）正確．
故選B．

點評：本題主要考查等差數列、等比數列的定義和性質，數列的前n項和的意義，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．