Question

【題目】已知橢圓，傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點為．過橢圓內一點的兩條直線分別與橢圓交于點，且滿足，其中為實數．當直線平行于軸時，對應的．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當變化時，是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） .

【解析】

（Ⅰ）將M和N點坐標代入橢圓方程，根據斜率公式求得kMN=1，求得a和b的關系，當直線AP平行于x軸時，設|AC|=2d，求得A點坐標，代入橢圓方程，即可求得a和b，求得橢圓方程；

（Ⅱ）設出A、B、C和D點坐標，由向量共線，=λ，=λ，及A和B在橢圓上，利用斜率公式，kAB=kCD，求得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），即可求得kAB為定值．

（Ⅰ）設M（m1，n1）、N（m2，n2），則，

兩式相減，

故a2=3b2

當直線AP平行于x軸時，設|AC|=2d，

∵，，則，解得，

故點A（或C）的坐標為．

代入橢圓方程，得

a2=3，b2=1，

所以方程為.

（Ⅱ）設A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）

由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），

…①

同理可得…②

由①②得：…③

將點A、B的坐標代入橢圓方程得，

兩式相減得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

于是3（y1+y2）kAB=﹣（x1+x2）…④

同理可得：3（y3+y4）kCD=﹣（x3+x4），

于是3（y3+y4）kAB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴kAB=kCD）

所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）…⑤

由④⑤兩式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]kAB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]

把③代入上式得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），

解得：，

當λ變化時，kAB為定值，．