Question

令f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），如果對(duì)k（k∈N^*）滿足f（1）f（2）…f（k）為整數(shù)，則稱k為“好數(shù)”，那么區(qū)間[1，2007]內(nèi)所有“好數(shù)”的和M是

2026

．

Answer 1

分析：先利用換底公式與疊乘法把f（1）f（2）…f（k）化為log₂（k+2），再根據(jù)f（1）f（2）…f（k）為整數(shù)，可得k=2ⁿ-2，進(jìn)而由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得結(jié)論．

解答：解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2），
∴f（1）f（2）…f（k）=

log23

log22

×

log24

log23

×…×

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2）．
又f（1）f（2）…f（k）為整數(shù)，∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*）的形式，
即k=2ⁿ-2．
∴區(qū)間[1，2007]內(nèi)所有“好數(shù)”的和
M=（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9=

4(1-29)

1-2

-18=2026．
故答案為2026．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了疊乘法，是中檔題．