Question

已知函數常數）滿足.
（1）求出的值，并就常數的不同取值討論函數奇偶性；
（2）若在區間上單調遞減，求的最小值；
（3）在（2）的條件下，當取最小值時，證明：恰有一個零點且存在遞增的正整數數列，使得成立.

Answer 1

（1），時是偶函數，時，非奇非偶函數；（2）；（3）證明見解析.

試題分析：（1）直接代入已知可求得，根據奇偶函數的定義可說明函數是奇（偶）函數，如果要說明它不是奇（偶）函數，可舉例說明，即或；（2）據題意，即當時，總有成立，變形整理可得，由于分母，故，即，注意到，，從而，因此有；（3）在（2）的條件下，，理論上講應用求出零點，由函數表達式可看出，當時，無零點，當時，函數是遞增函數，如有零點，只有一個，解方程，即，根據零點存在定理確定出，這個三次方程具體的解求不出，但可變形為，想到無窮遞縮等比數列的和，有，因此可取.證畢.
（1）由得，解得.
從而，定義域為
當時，對于定義域內的任意，有，為偶函數  2分
當時，從而，不是奇函數；，不是偶函數，非奇非偶.      4分
（2）對于任意的，總有恒成立，即，得.    6分
，，，從而.
又，∴，的最小值等于.      10分
（3）在（2）的條件下，.
當時，恒成立，函數在無零點.    12分
當時，對于任意的，恒有，
即，所以函數在上遞增，又，，
在是有一個零點.
綜上恰有一個零點，且        15分
，得，
又，故，
取          18分