Question

（1）原點O及直線為曲線C的焦點和相應的準線；
（2）被直線垂直平分的直線截曲線C所得的弦長恰好為。
若存在，求出曲線C的方程，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：設存在符合題設的圓錐曲線C，此曲線離心率為（>0），P（x，y）是曲線C上任一點。
由圓錐曲線的定義有
化簡整理得，               ①
設曲線C被直線垂直平分，其弦長為的弦所在直線方程為,這弦的兩個端點
將代入①式中，消去y得
                      ②
由題意0，

由此可解得AB的中點D的坐標為

由條件（2），中點D在，于是有：

解③，代入④得。
經檢驗符合題意，因此符合條件的曲線C存在，其方程為。

這是一道開放性的題目，探求滿足上述兩個條件的圓錐曲線是否存在，本題的難點是題目沒有具體的給出圓錐曲線的形狀，由條件（1）給出焦點和相應的準線，因此可考慮用圓錐曲線統一定義，設離心率為，通過計算，推理，探求的存在性。