Question

對于定義在集合D上的函數y=f（x），若f（x）在D上具有單調性，且存在區間[a，b]⊆D，使當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）是D上的正函數，區間[a，b]稱為f（x）的“等域區間”．已知函數f（x）=

x

是[0，+∞）上的正函數，則f（x）的等域區間為

[0，1]

．

Answer 1

分析：因為f（x）=

x

在[0，+∞）上是增函數，所以當x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，由此能求出f（x）的等域區間．

解答：解：因為f（x）=

x

在[0，+∞）上是增函數，
所以當x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，
又f（x）=

x

是[0，+∞）上的正函數，
∴

f(a)=a f(b)=b b＞a≥0

，即

a =a b =b b＞a≥0

，
解得a=0，b=1，
∴f（x）的等域區間為[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點評：本題考查函數恒成立的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，有一定難度，是高考的重點．