Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

，g（x）=sinx-

2

π

x（其中常數(shù)a，b∈R，π是圓周率）．
（I）當(dāng)a=1時，若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（x）的極值點(diǎn)；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（III）當(dāng)b=0，a∈（

π

2

，π]時，求函數(shù)g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，，使得對任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的函數(shù)是一個奇函數(shù)，寫出奇函數(shù)成立的等式，整理出b的值是0，得到函數(shù)的解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，求出極值點(diǎn)．
（II）要求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，首先對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)大于0，解不等式，注意不等式大于0相當(dāng)于分子大于0，問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解，針對于a和b的值進(jìn)行討論．
（III）先對于函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性看出函數(shù)的最值在x=0取到，寫出函數(shù)的最小值，得到恒成立的問題成立時，存在a的值．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x）成立，
即

-x+b

x2+1

=-

x+b

x2+1

∴b=0，
∴f（x）=

1

x2+1

，
∴f^′（x）=0時，x=±1，
∴經(jīng)檢驗(yàn)x=±1是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（II）∵函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

，
∴f′(x)=

a(x2+1)-2x(ax+b)

(x2+1)2

=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

從f^′（x）＞0，
得ax²+2bx-a＜0，
當(dāng)a=0，b=0時，不存在遞增區(qū)間，
當(dāng)a=0，b≠0時，
b＞0時，遞增區(qū)間是（-∞，0）
b＜0，遞增區(qū)間是（0，+∞）
當(dāng)a＞0，單調(diào)遞增區(qū)間是[

-b- a2-b2

a

，

-b+ a2-b2

a

]
當(dāng)a＜0，單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，

-b+ a2+b2

a

]和[

-b- a2+b2

a

，+∞）
（III）∵g′(x)=cosx-

2

π

，
令g^′（x）=0，得cosx=

2

π

，
當(dāng)x變化時，g（x）先增后減，
∴函數(shù)g（x）在[0，a]上的最小值h（a）=g（0），
即存在滿足條件的實(shí)數(shù)a=0，使得對任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的綜合題目，是一個以考查函數(shù)的單調(diào)性和最值為主的題目，解題過程中要用到一元二次不等式的解法，并且針對于一元二次不等式的字母系數(shù)的討論要注意．