Question

如圖所示，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C₁，C₂，…，C₆，直徑AB上有異于A，B的四個點D₁，D₂，D₃，D₄.則：

(1)以這12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？
(2)以這10個點(不包括A，B)中的3個點為頂點，可作出多少個三角形？其中含點C₁的有多少個？

Answer 1

（1）360  （2）36

解：(1)構成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類：
①四個點從C₁，C₂，…，C₆中取出，有C₆⁴個四邊形；
②三個點從C₁，C₂，…，C₆中取出，另一個點從D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆³C₆¹個四邊形；
③二個點從C₁，C₂，…，C₆中取出，另外二個點從D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆²C₆²個四邊形．
故滿足條件的四邊形共有
N＝C₆⁴＋C₆³C₆¹＋C₆²C₆²＝360(個)．
(2)類似于(1)可分三種情況討論得三角形個數為
C₆³＋C₆¹C₄²＋C₆²C₄¹＝116(個)．
其中含點C₁的有C₅²＋C₅¹C₄¹＋C₄²＝36(個)．