Question

【題目】雙曲線的左、右焦點分別為、，直線過且與雙曲線交于、兩點．

（1）若的傾斜角為，，是等腰直角三角形，求雙曲線的標準方程；

（2），，若的斜率存在，且，求的斜率；

（3）證明：點到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點在已知雙曲線上的必要非充分條件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）將代入雙曲線的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再將代入可得出的值，由此可得出雙曲線的標準方程；

（2）先求出雙曲線的標準方程，并設直線的方程為，將該直線的方程與雙曲線的方程聯立，列出韋達定理，并求出線段的中點的坐標，由得出，轉化為，利用這兩條直線斜率之積為，求出實數的值，可得出直線的斜率；

（3）設點，雙曲線的兩條漸近線方程為，利用點到直線的距離公式、雙曲線的方程以及必要不充分條件的定義，即可得證.

（1）直線的傾斜角為，，可得直線，代入雙曲線方程可得，

是等腰直角三角形可得，即有，

解得，，則雙曲線的方程為；

（2）由，，可得，

直線的斜率存在，設為，設直線方程為，

，可得，

由，聯立雙曲線方程，

可得，

可得，線段的中點為，

由，可得，

解得，滿足，故直線的斜率為；

（3）證明：設，雙曲線的兩條漸近線為，

可得到漸近線的距離的乘積為，

即為，可得，

可得在雙曲線或上，

即有點到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點在已知雙曲線上的必要非充分條件．