Question

（03年北京卷文）（12分）

如圖，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，側棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點.

   （Ⅰ）求三棱錐D₁―DBC的體積.；

   （Ⅱ）證明BD₁∥平面C₁DE；

   （Ⅲ）求面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值.

Answer 1

解析: （Ⅰ）解：.

（Ⅱ）證明：記D₁C與DC₁的交點為O，連結OE.

      ∵O是CD₁的中點，E是BC的中點，

∴EO∥BD₁.

∵BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE，

∴BD₁∥平面C₁DE.

  （Ⅲ）解：過C作CH⊥DE于H，連結C₁H.

在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，

C₁C⊥平面ABCD，

∴∠C₁H⊥DE，   ∴∠C₁HC是面C₁DE與面CDE所成二面角的平面角.

∵DC=2，CC₁=1，CE=1，  ∴，

∴  即面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值為