Question

已知橢圓的左右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形是邊長為2的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若分別是橢圓長軸的左右端點,動點滿足,連接,交橢圓于點.證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問軸上是否存在異于點的定點,使得以為直徑的圓恒過直線的交點,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)；（2）證明見解析；（3）存在，.

試題分析：（1）由橢圓的幾何性質知，，結合可很快求得，這樣就得出了橢圓的標準方程；（2）若，，則，因此我們要把用表示出來，先用把直線方程寫出，然后與橢圓方程聯立解方程組可得（注意消去得關于的二次方程，這個二次方程有一個解是，另一解是，這樣很容易得到，于是有）；（3）這是存在性命題，總是假設點存在，設，由題意則應該有，即，而點的坐標在（2）中已經用表示出來了，因此利用若能求出，則說明符合題意的點存在，否則就不存在．
(1),,橢圓方程為       4分
(2),設,則.
直線:,即, 
代入橢圓得
 
,.
, 
(定值).               10分
(3)設存在滿足條件,則.
,, 
則由得 ,從而得.
存在滿足條件                    16分