定義：對于兩個雙曲線
,
,若的實軸是的虛軸，的虛軸是的實軸，則稱,為共軛雙曲線.現(xiàn)給出雙曲線
和雙曲線
，其離心率分別為
.
（1）寫出
的漸近線方程（不用證明）；
（2）試判斷雙曲線和雙曲線是否為共軛雙曲線？請加以證明.
（3）求值：
.
（1）
、
；（2）是；（3）1.
解析試題分析：（1）由其圖像很容易知道的漸近線方程即
軸和一、三象限的角平分線.從而寫出
的漸近線方程都是：和；（2）先利用漸近線與實軸、虛軸間的關(guān)系得到
的實軸所在直線為
與虛軸所在直線為
.然后計算實軸與雙曲線
的交點，從而得到
、
、
.同理也可得到的類似數(shù)據(jù)，從
而得到證明；（3）由上問即可得到
，
，所以="1" .
試題解析：（1）的漸近線方程都是：和. 3分
（2）雙曲線是共軛雙曲線. 4分
證明如下： 對于，實軸和虛軸所在的直線是和的角平分線所
的直線， 所以的實軸所在直線為，
虛軸所在直線為， 6分
實軸
和
的交點
到原點的距離的平方.
又
，所以 從而得； 8分
同理對于，實軸所在直線為，
虛軸所在直線為
，
實軸
和
的交點
到原點的距離的平方
，所以
，從而得
.
綜上所述，雙曲線是共軛雙曲線. 10分
（3） 由（2）易得，，
所以="1" . 13分
考點：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.共軛雙曲線的定義；3.離心率.
心算口算巧算一課一練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
上的點到其兩焦點距離之和為
，且過點
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）
為坐標(biāo)原點，斜率為
的直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點
，
，若
，求△
的面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知
、
為橢圓
的左、右焦點，且點
在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過
的直線
交橢圓于
兩點，則
的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？
若存在其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，長軸長為
，且點
在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)
是橢圓長軸上的一個動點，過作方向向量
的直線
交橢圓于
、
兩點，求證：
為定值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
.
(1)橢圓的短軸端點分別為
(如圖)，直線
分別與橢圓交于
兩點，其中點
滿足
，且
.
①證明直線
與
軸交點的位置與
無關(guān)；
②若∆
面積是∆
面積的5倍，求的值；
(2)若圓
:
.
是過點
的兩條互相垂直的直線,其中
交圓于
、
兩點,
交橢圓
于另一點
.求
面積取最大值時直線的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點，
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線
與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且
與的兩個交點A和B滿足
（其中0為原點），求k的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為
，準(zhǔn)線為
，點
為拋物線C上的一點，且
的外接圓圓心到準(zhǔn)線的距離為
．
（I）求拋物線C的方程；
（II）若圓F的方程為
，過點P作圓F的2條切線分別交
軸于點
，求
面積的最小值時
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，拋物線關(guān)于
軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，點P(1,2),
,
均在拋物線上.
（1）求該拋物線方程；
（2）若AB的中點坐標(biāo)為
，求直線AB方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率
，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線
與橢圓相交于不同的兩點A,B。已知點A的坐標(biāo)為
。若
，求直線的傾斜角。
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