Question

（2013•樂山一模）濟南高新區引進一高科技企業，投入資金720萬元建設基本設施，第一年各種運營費用120萬元，以后每年增加40萬元；每年企業銷售收入500萬元，設f（n）表示前n年的純收入．（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）
（Ⅰ）從第幾年開始獲取純利潤？
（Ⅱ）若干年后，該企業為開發新產品，有兩種處理方案：
①年平均利潤最大時，以480萬元出售該企業；
②純利潤最大時，以160萬元出售該企業；
問哪種方案最合算？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據第一年各種運營費用120萬元，以后每年增加40萬元，可知每年的運營費用是以120為首項，40為公差的等差數列，利用f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額，可確立函數的解析式，進而可建立不等式，從而可求從第幾年開始獲取純利潤．
（Ⅱ）①求出年平均利潤，利用基本不等式，可求此方案獲利最大值的時間；②f（n）=-20n²+400n-720=-20（n-10）²+1280，利用配方法，求此方案獲利最大值的時間，比較即可得出結論．

解答：解：由題意知每年的運營費用是以120為首項，40為公差的等差數列．設純利潤與年數的關系為f（n），
設f(n)=500n-[120n+

n(n-1)

2

×40]-720=-20n2+400n-720．------（3分）
（Ⅰ）獲取純利潤就是要求f（n）＞0，故有-20n²+400n-720＞0，解得2＜n＜18．又n∈N^*，知從第三年開始獲取純利潤．-----------------（5分）
（Ⅱ）①年平均利潤

f(n)

n

=400-20(n+

36

n

)≤160，當且僅當n=6時取等號．故此方案獲利6×160+480=1440（萬元），此時n=6．-----------------（7分）
②f（n）=-20n²+400n-720=-20（n-10）²+1280，當n=10時，f（n）_max=1280．
故此方案共獲利1280+160=1440（萬元）．-----------------（9分）
比較兩種方案，在同等數額獲利的基礎上，第①種方案只需6年，第②種方案需要10年，故選擇第①種方案．-----------------（10分）

點評：本題考查數列模型，考查基本不等式的運用，考查二次函數最值的研究，解題的關鍵是建立數列模型，選擇適當的方法求最值．