Question

已知橢圓的一個焦點為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為直線上的一點，若△為等邊三角形，求直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）直線的方程為，或.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程以及幾何性質、直線與橢圓相交問題、韋達定理、兩點間距離公式、直線的方程等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用橢圓的標準方程中a,b,c的關系，焦點坐標，離心率列出方程組，解出a和b，從而得到橢圓的標準方程；第二問，點斜式設出直線方程，由于直線與橢圓交于A，B，則直線與橢圓方程聯立消參得到關于x的方程，設出A，B點坐標，利用韋達定理，得到，，再結合兩點間距離公式求出的長，利用中點坐標公式得出AB中點M的坐標，從而求出|MP|的長，利用為正三角形，則，列出等式求出k的值，從而得到直線的方程.
（1）依題意有，．
可得，．
故橢圓方程為．                  ５分
（2）直線的方程為．
聯立方程組
消去并整理得．　　　
設，．
故，．
則．
設的中點為．
可得，．
直線的斜率為，又 ，
所以．
當△為正三角形時，，
可得，
解得．         
即直線的方程為，或．            13分
考點：橢圓的標準方程以及幾何性質、直線與橢圓相交問題、韋達定理、兩點間距離公式、直線的方程.