Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線：，過拋物線焦點且與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點，且的周長為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過焦點且斜率為1的直線與拋物線相交于、兩點，過點、分別作拋物線的切線、，切線與相交于點，求：的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】

（1）將代入拋物線的方程可得點、的坐標分別為、，進而利用三角形的周長為，列出方程，求得，即可得到拋物線的方程；

（2）將直線方程為與拋物線的方程聯立，利用根與系數的關系，得到直線的方程，進而得到點的坐標為，再利用拋物線的幾何性質，即可作出證明。

（1）由題意知，焦點的坐標為，

將代入拋物線的方程可求得，解得，

即點、的坐標分別為、，

又由，，

可得的周長為，即，解得，

故拋物線的方程為.

（2）由（1）得，直線方程為，

聯立方程消去整理為：，則，

所以，.

又因為，則，

∴可得直線的方程為，整理為.

同理直線的方程為.

聯立方程，解得，則點的坐標為.

由拋物線的幾何性質知，，

.

有 .

∴.