Question

（本小題滿分14分）
已知函數．
（I）討論的單調性；
（II）設．當時，若對任意，存在，（），使，求實數的最小值．

Answer 1

解：（I）由題意函數的定義域為，

（1）若，從而當時，；當時，
此時函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為 （2分）
（2）若，則
①當時，，從而當或時，，
當 時，
此時函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
②當時，，
此時函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為
；當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．  （7分）
（II）由（Ｉ）可得當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減，
所以在區間上，
由題意，對任意，存在（），使
從而存在（）使，
即只需函數在區間（）上的最大值大于－２，
又當時，，不符，
所以在區間（）上.
解得，所以實數的最小值為3．（14分）

解析