Question

（本題12分）已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C₁的方程；  （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C₁上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）直線AC的方程為

【解析】

試題分析：（I）設由拋物線定義，

，  M點C₁上，

舍去.

橢圓C₁的方程為

（II）為菱形，，設直線AC的方程為 在橢圓C₁上，設，則

的中點坐標為，由ABCD為菱形可知，點在直線BD：上，∴直線AC的方程為

考點：本題主要考查拋物線的定義，橢圓標準方程及幾何性質，直線與橢圓的位置關系。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了拋物線的定義及橢圓的幾何性質。為求直線AC的方程，本題利利用了待定系數法，通過聯立方程組，應用韋達定理，確定了AC、BD的中點坐標，代人已知方程，得到“待定系數”，達到了解題目的。