Question

對數列{x_n}，滿足x1=

4

5

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

；對函數f（x）在上（-1，1）有意義，f(-

1

2

)=2，且滿足x，y∈（-1，1）時，有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，則f（x_n）的表示式為（　　）

• A、-2^n-1
• B、2ⁿ
• C、-2ⁿ⁺¹
• D、2ⁿ⁺¹

Answer 1

分析：求解析式第一看定義域，此題已經給出（-1，1）；第二看性質：首先奇偶性，代入f（-x）判斷其與f（x）的關系，得出奇函數，最后充分分析該題目特征數字，分別求出首項和公比．

解答：解：C由x1=

4

5

，結合已知可得0＜xn+1=

2xn

1+ x 2 n

=

2

1 xn +xn

≤1；由x=y=0?2f（0）=f（0），
∴f（0）=0，令y=-x，
則f（x）+f（-x）=f（0）=0，
則f（-x）=-f（x）．
又f(

4

5

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=2f(

1

2

)=-2f(-

1

2

)=-4，
且f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn+xn

1+ x 2 n

)=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n），
于是

f(xn+1)

f(xn)

=2，即{f（x_n）}是以-4為首項，以2為公比的等比數列，
所以f（x_n）=-2ⁿ⁺¹．

點評：抽象函數本身就給人虛無縹緲的感覺，此題更是配上了形式復雜的數列，但是要堅定題目越是嚇人說明找準方向他的命脈就越加薄弱．不僅作對了一道題，而且在這個過程中培養了不畏險阻的意識品質．