Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，長軸長為4，過橢圓的左頂點A作直線l，分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點P，Q．

（1）若直線l的斜率為 ，求 的值；
（2）若 =λ ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件可得，2a=4，e= = ，a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=c= ，

可得橢圓的方程為 ，圓的方程為x2+y2=4；

（方法一）直線l的方程為 ，由 得：3x2+4x﹣4=0，

解得 ，所以 ；

所以 ，又因為原點O到直線l的距離 ，

所以 ，

所以 ；

（方法二）由 得3y2﹣4y=0，所以yP= ，

由 可得5y2﹣8y=0，解得yQ= ，

所以 = = × =

（2）解：（方法一）若 ，則λ= ﹣1，

設直線l：y=k（x+2），由 得，（2k2+1）x2+8k2﹣4=0，

即（x+2）[（2k2+1）x+（4k2﹣2）]=0，

所以 ，得 ；

所以 ，

即 ，同理Q（ ， ）， ，

即有λ= ﹣1=1﹣ ，

由k2＞0，可得0＜k2＜1．

（方法二）由方法一可得，λ= ﹣1= ﹣1= ﹣1=1﹣ ，

由題意：k2＞0，所以0＜λ＜1

【解析】（1）由題意可得a=2，運用離心率公式和a，b，c的關系可得b，c，進而得到橢圓方程和圓的方程，設出直線l的方程代入橢圓方程，求得弦長AP，運用圓的弦長公式可AQ，進而所求之比；或聯立直線的方程和橢圓方程（或圓的方程）求得P，Q的縱坐標，即可得到所求之比；（2）若 ，則 ，設直線l：y=k（x+2），代入橢圓方程，求得交點，以及弦長AP，代入圓方程可得交點，可得弦長AQ，可得實數λ的式子，運用不等式的性質即可得到所求范圍；或將直線方程代入橢圓方程（圓方程）求得P，Q的縱坐標，由坐標之比，結合不等式的性質，即可得到所求范圍．