Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）已知直線與圓相切于點(diǎn)，且與曲線相交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，求三角形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意知，可知軌跡為橢圓，寫出方程即可（Ⅱ）直線的斜率存在且不為0，利用直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出PQ中點(diǎn)N坐標(biāo)寫出PQ中垂線方程，利用圓心到直線的距離求出，化簡(jiǎn)求其最值，代入三角形面積公式即可求解.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，

故，

所以，

故，

由題設(shè)得，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：.

（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，

設(shè)直線的方程為，

因?yàn)橹本�與圓相切，

所以，∴，

由消去得.

設(shè)，由韋達(dá)定理知：

.

所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以弦的垂直平分線方程為，

即 .

所以.

將代入得

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)）.

所以三角形的面積為，

綜上所述，三角形的面積的最大值為.