Question

已知函數(shù)．
（1）證明函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱;
（2）若，求；
（3）在（2）的條件下，若 ，為數(shù)列的前項和，若對一切都成立，試求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域為，設(shè)、是函數(shù)圖像上的兩點, 其中且,則有，因此函數(shù)圖像關(guān)于點對稱（2）（3）

試題分析：（1） 證明：因為函數(shù)的定義域為， 設(shè)、是函數(shù)圖像上的兩點, 其中且,
則有 
因此函數(shù)圖像關(guān)于點對稱                           4分
（2）由（1）知當(dāng)時，
①     ②
①+②得                         8分
（3）當(dāng)時，
當(dāng)時，，
當(dāng)時， =
∴ （）
又對一切都成立，即恒成立
∴恒成立，又設(shè),所以在上遞減,所以在處取得最大值
∴，即
所以的取值范圍是                                12分
點評：證明函數(shù)關(guān)于點對稱只需證明，第二問數(shù)列求和結(jié)合通項的特點采用倒序相加法，第三問將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，進(jìn)而可借助于導(dǎo)數(shù)求解