Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（﹣1，0）的距離與P到定直線x=﹣4的距離之比為 ．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A、B是軌跡C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OA、OB與軌跡C的另一交點(diǎn)分別為A1、B1 ， 且直線OA、OB的斜率之積等于- ，問(wèn)四邊形ABA1B1的面積S是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)P（x，y），由題意可得， ，

化簡(jiǎn)得3x2+4y2=12，

所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得 ，

，

因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓C上，

所以 ， ，

所以， = ，

化簡(jiǎn)得 ．

① 當(dāng)x1=x2時(shí)，則四邊形ABA1B1為矩形，y2=﹣y1，則 ，

由 ，得 ，

解得 ， ，S=|AB||A1B|=4|x1||y1|= ；

②當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線AB的方向向量為 ，

直線AB的方程為（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，

原點(diǎn)O到直線AB的距離為 ，

所以△AOB的面積 ，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，四邊形ABA1B1的面積S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，

所以，

= ，

所以 ．

所以，四邊形ABAB1的面積為定值

【解析】（1）設(shè)P（x，y），由點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，可得， ，化簡(jiǎn)即可得到所求軌跡方程；（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和斜率公式，結(jié)合點(diǎn)A、B在橢圓C上，可得x12+x22=4，討論①當(dāng)x1=x2時(shí)，則四邊形ABA1B1為矩形；②當(dāng)x1≠x2時(shí)，通過(guò)三角形的面積公式和橢圓的對(duì)稱(chēng)性，即可得到所求面積為定值．